La fórmula de la esperanza matemática
La esperanza matemática combina con qué frecuencia ganas con cuánto ganas y pierdes:
esperanza = WR × ganancia media + (1 − WR) × pérdida media
- WR es tu tasa de acierto en decimal (45 % = 0,45).
- ganancia media es el beneficio medio de tus operaciones ganadoras.
- pérdida media es la pérdida media de tus operaciones perdedoras, escrita como número negativo.
Como la pérdida es negativa, la segunda mitad de la fórmula reduce el resultado. Si el resultado es positivo, tus operaciones ganaron dinero de media en la muestra. Si es negativo, perdieron dinero de media.
La esperanza matemática es el número que responde a "¿esto funciona?" de forma más directa que la tasa de acierto o el profit factor, porque se mide en dinero (o en R) por operación.
Ejemplo resuelto en euros
Supongamos que tu diario muestra 100 operaciones cerradas con una tasa de acierto del 45 %, una ganancia media de 300 € y una pérdida media de −150 €.
esperanza = 0,45 × 300 + 0,55 × (−150) = 135 + (−82,50) = +52,50 € por operación
En esas 100 operaciones son 100 × 52,50 € = 5.250 € en total. Ten en cuenta que esto describe lo que pasó, no lo que pasará después.
Ahora resta los costes. Si las comisiones y tasas suman de media 6 € por operación completa, la esperanza neta es 52,50 − 6 = +46,50 €. Si operas con frecuencia con una ventaja pequeña, los costes pueden llevarse una gran parte de ella, así que calcula la esperanza sobre resultados netos.
Este es el caso contrario. Una tasa de acierto del 70 %, una ganancia media de 100 € y una pérdida media de −250 €:
esperanza = 0,70 × 100 + 0,30 × (−250) = 70 − 75 = −5 € por operación.
Siete aciertos de cada diez, y aun así perdiendo dinero de media. Por eso la tasa de acierto sola no basta, como explica la guía sobre la tasa de acierto.
Esperanza matemática en R
Si registras cada operación como múltiplo R, puedes calcular la esperanza en R. Fija la pérdida media en −1R (tu riesgo planificado) y la ganancia media en tu ganadora típica en R:
esperanza = 0,45 × 2 + 0,55 × (−1) = 0,90 − 0,55 = +0,35R por operación
La esperanza en R no depende del tamaño de posición, así que te permite comparar estrategias o periodos aunque hayas cambiado el tamaño. La tabla muestra la esperanza en R para distintas tasas de acierto y ganancias medias, con la pérdida media fija en −1R:
| Tasa de acierto | Ganancia media 1R | Ganancia media 1,5R | Ganancia media 2R | Ganancia media 3R |
|---|---|---|---|---|
| 30 % | −0,4R | −0,25R | −0,1R | +0,2R |
| 40 % | −0,2R | +0R | +0,2R | +0,6R |
| 50 % | 0R | +0,25R | +0,5R | +1R |
| 60 % | +0,2R | +0,5R | +0,8R | +1,4R |
Las celdas a cero son el punto de equilibrio. Leyendo la fila del 30 %, una estrategia que gana solo tres veces de cada diez sigue teniendo esperanza positiva si las ganadoras promedian más de unos 2,3R. Comprueba tus propias cifras con la calculadora de múltiplo R.
¿Qué palanca mueve más la esperanza matemática?
Parte del ejemplo en euros: tasa de acierto del 45 %, ganancia media de 300 €, pérdida media de 150 €, esperanza +52,50 €. Ahora mejora un dato cada vez en una cantidad modesta:
| Cambio | Cálculo | Esperanza |
|---|---|---|
| Base | 0,45 × 300 + 0,55 × (−150) | 52,50 € |
| Reducir la pérdida media un 20 % a −120 € | 0,45 × 300 + 0,55 × (−120) | 69 € |
| Subir la tasa de acierto 5 puntos al 50 % | 0,50 × 300 + 0,50 × (−150) | 75 € |
| Subir la ganancia media un 10 % a 330 € | 0,45 × 330 + 0,55 × (−150) | 66 € |
Cada cambio ayuda. Cuál es realista para ti depende de tu trading. Las pérdidas suelen ser lo más fácil de trabajar, porque dependen de decisiones que controlas: dónde colocas el stop, respetarlo y evitar operaciones que nunca planificaste. Tu diario te dice dónde está realmente la diferencia.
¿Cuántas operaciones necesitas?
La esperanza de una muestra pequeña tiene mucho ruido. Con 20 operaciones, una sola ganadora o perdedora grande puede cambiar el signo. No hay un número mágico, pero algunos hábitos te mantienen honesto:
- Indica siempre el número de operaciones junto a la esperanza.
- Recalcula cada 25 o 50 operaciones y mira si la cifra es estable o salta.
- Calcula la esperanza con y sin tu mayor ganancia. Si quitar una operación vuelve negativo el resultado, la ventaja depende de esa operación.
- Sepáralo por setup. Una esperanza conjunta positiva puede esconder un setup que pierde dinero de media.
La esperanza tampoco dice nada del camino. Dos estrategias con la misma esperanza pueden tener rachas de pérdidas y drawdowns muy distintos. Combínala con tu drawdown máximo y tu profit factor.
Esperanza matemática frente a profit factor
La esperanza matemática y el profit factor (factor de beneficio) usan la misma materia prima pero responden a preguntas distintas. El profit factor es un cociente: ganancias brutas ÷ |pérdidas brutas|. La esperanza es una cantidad: cuánto ganó o perdió la operación media.
Ambos cruzan su punto de equilibrio en el mismo momento. Cuando la esperanza es exactamente cero, las ganancias brutas igualan a las pérdidas brutas y el profit factor es exactamente 1,0. Por encima, ambos dicen que la muestra fue rentable.
Donde difieren es en la escala. Un profit factor de 1,5 puede venir de operaciones que promedian 5 € o 500 €. La esperanza te dice cuál, y eso importa cuando comparas la ventaja con tus costes. Si la esperanza es de 5 € por operación antes de costes y tu operación completa cuesta 4 €, la mayor parte de la ventaja se va en comisiones, algo que un cociente calculado antes de costes no mostraría.
Usa la esperanza para juzgar si la ventaja es lo bastante grande como para que merezca la pena operarla, y el profit factor para comparar periodos o setups en una escala independiente del tamaño.
Seguir la esperanza matemática en tu diario
Necesitas cuatro números, y un diario te los da todos: número de ganadoras, número de perdedoras, total de las operaciones ganadoras y total de las perdedoras. A partir de ellos:
- WR = ganadoras ÷ (ganadoras + perdedoras).
- ganancia media = total de ganadoras ÷ ganadoras.
- pérdida media = total de perdedoras ÷ perdedoras (un número negativo).
- esperanza = WR × ganancia media + (1 − WR) × pérdida media.
Decide cómo tratar las operaciones en equilibrio y mantén el criterio. Es habitual no contarlas ni como ganadoras ni como perdedoras, pero entonces indica cuántas hubo.
La hoja de cálculo para diario de trading prepara estas fórmulas. Una app de diario que importa las operaciones cerradas desde tu bróker puede calcular la esperanza por setup automáticamente.